Derivees - de la pente a l'ordre superieur

Debutant 45 min 12 sections

Comprendre la derivee comme pente, lire et comparer une fonction et ses derivees successives (premiere, seconde, et plus) grace a des graphiques interactifs.

Objectifs d'apprentissage

Definir la derivee comme limite du taux d'accroissement
Interpreter la derivee comme pente de la tangente
Connaitre les derivees des fonctions usuelles
Lire visuellement la relation entre f, f' et f''
Comprendre la notion d'ordres superieurs

Prerequis

Fonctions, limites, lecture de courbes

Theorie

Pourquoi etudier les derivees ?

La derivee mesure la vitesse a laquelle une fonction varie. C'est

l'outil central pour repondre a des questions du type :

Comment evolue une grandeur instant par instant (vitesse, croissance) ?
Ou la fonction atteint-elle un maximum, un minimum ?
Quelle est la pente de la courbe en un point precis ?

Dans ce module, on part de l'intuition geometrique (la pente) puis

on formalise avec la limite du taux d'accroissement, et enfin on

visualise la relation entre une fonction et ses derivees successives.

Formule

Definition formelle (limite du taux d'accroissement)

La derivee de $f$ au point $x$ est la limite (lorsqu'elle existe) du

taux d'accroissement entre $x$ et $x+h$ quand $h$ tend vers $0$ :

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Geometriquement : $f'(x)$ est la pente de la tangente a la courbe

de $f$ au point d'abscisse $x$.

Visualisation

Visualiser - polynome et ses derivees

Comparez la fonction $f(x) = x^2$ et sa derivee $f'(x) = 2x$. La

derivee seconde $f''(x) = 2$ est constante : la concavite est

uniforme. Choisissez deux courbes a afficher cote a cote.

Courbe A vs Courbe B

Theorie

Table des derivees usuelles

Quelques derivees a connaitre par coeur :

Fonction $f(x)$	Derivee $f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$n \, x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$

Theorie

Regles de calcul

Pour deux fonctions $u$ et $v$ derivables :

Somme : $(u + v)' = u' + v'$
Produit par une constante : $(k \cdot u)' = k \cdot u'$
Produit : $(u \cdot v)' = u' v + u v'$
Quotient : $\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}$

Visualisation

Visualiser - fonctions trigonometriques

Sur les fonctions trigonometriques, on voit le dephasage : la

derivee de $\sin$ est $\cos$, et la derivee de $\cos$ est $-\sin$.

Affichez deux courbes pour reperer ce decalage d'un quart de

periode.

Courbe A vs Courbe B

Theorie

Derivee seconde et concavite

La derivee seconde $f''$ est la derivee de $f'$. Elle decrit la

facon dont la pente varie :

$f''(x) > 0$ : la courbe est convexe (creux vers le haut).
$f''(x) < 0$ : la courbe est concave (bosse vers le haut).
$f''(x) = 0$ : possible point d'inflexion.

Un point ou $f'$ s'annule et $f''$ change de signe est un

candidat extremum (minimum si $f'' > 0$, maximum si $f'' < 0$).

Visualisation

Visualiser - f vs f' vs f''

Pour $f(x) = x^3 - 3x$, on observe :

$f'$ s'annule en $x = \pm 1$ (extremums locaux),
$f''$ s'annule en $x = 0$ (point d'inflexion).

Comparez visuellement les trois courbes.

Courbe A vs Courbe B

QCM

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